Progresión Aritmética
Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada uno de ellos, con excepción del primero es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia (d).
Por ejemplo:
7, 10, 13, 16, 19, 22, 25… (A cada número se le van sumando 3 unidades)
40, 35, 30, 25, 20, 15, 10, 5… (A cada número se le van restando 5 unidades)
Cada término de la sucesión indica un lugar como
a1, a2, a3, a4, a5,…, an
Para calcular el valor de la diferencia (d) de la sucesión aritmética se eligen dos términos consecutivos an y an+1, y al término mayor se le resta el término menor.
d = an+1 - an
Para calcular el valor de un término cualquiera an se usa la fórmula:
an = a1+ d(n-1)
Para calcular la suma de los primeros an números se usa la fórmula:
sn=n(a1+an)/2
Ejemplo 1: Ahorros
Un estudiante desea comprar un nuevo celular que cuesta $4 000 y piensa ahorrar durante un año de la siguiente manera: $3 la primera semana, $6 la segunda semana, $9 la tercera semana y así sucesivamente.
Si el año tiene 52 semanas, ¿Cuánto tendrá que aportar la última semana? ¿Cuánto ahorrará en un año? ¿Podrá comprar su nuevo celular?
Solución
La progresión que se forma es 3, 6, 9, 12, 15…
Eligiendo dos términos la diferencia es 12 -9 = 3 (d=3)
Para calcular el término a52 se aplica la fórmula:
an = a1+ d(n-1)
a52 = 3+ 3(52-1)
a52 = 3+ 3(51)
a52 = 156
La última semana tendrá que ahorrar $156.
Para saber cuánto ahorrará en un año (52 semanas) se aplica la fórmula:
sn=n(a1+an)/2
s52=52(3+ 156)/2
s52=40(159)/2
s52=4134
En un año el estudiante ahorrará $4,134. Por lo tanto sí podrá comparar su celular.
Progresión Geométrica
Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada uno de ellos, con excepción del primero se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón (r).
Por ejemplo:
2, 6, 18, 54, 162… (Cada número se va multiplicando por 3 unidades)
80, 40, 20, 10, 5, 2.5… (Cada número se va multiplicando por 1/2 o dividiendo entre 2 unidades)
Cada término de la sucesión indica un lugar como
a1, a2, a3, a4, a5,…, an
Para calcular el valor de la razón (r) de la sucesión geométrica se eligen dos términos consecutivos an y an+1, y el término mayor se divide entre el término menor.
r = an+1/ an
Para calcular el valor de un término cualquiera an se usa la fórmula:
an = a1(r)n-1
Para calcular la suma de los primeros an números se usa la fórmula:
sn=(a1- ran)/(1–r)
Ejemplo 2: Música
Las 12 Notas musicales son: Do, Do#, Re, Re#, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, La#, Si (el símbolo # significa sostenido) y se repiten de manera periódica después de cada doce notas.
En un Piano la primera vez que aparece la nota Do (en la primera octava), se llama Do-1 y su frecuencia es de 32.7 Hz. Para obtener las frecuencias de las siguientes notas musicales se multiplica cada valor por la raíz doceava de 2, es decir por (2)1/12 que equivale al valor 1.059463.
Así se forma la progresión: 32.7, 34.64, 36.70, 38.88,…
Si cada término de la sucesión se indica con a1, a2, a3, a4, a5,…, an
Para calcular la frecuencia de Do-2 (segunda octava) equivalente a calcular a13, para calcular Do-3 (tercera octava) equivalente a calcular a25 y así sucesivamente. Con estas condiciones, ¿Cuál es el valor de la frecuencia de la nota Do-4 (cuarta octava)?
Solución
La nota Do-4 equivale al término a37
Aplicando la fórmula se obtiene:
an = a1(r)n-1
a37 = 32.7(1.059463)37-1
a37 = 32.7(1.059463)36
a37 = 261.5991
La frecuencia de la nota Do-4 es aproximadamente 261.6 Hz.
Ejercicios:
· De manera individual escribe los siguientes ejercicios en tu libreta con sus respectivas soluciones.
1) Pedro vive en la calle 31 y su amiga María vive a 73 calles de su casa. Si la secuencia de las calles es 31, 33, 35, 37, 39… ¿En qué calle vive María?
2) En un almacén están apilados varios postes de la siguiente manera: 40 en la primera fila, 39 en la segunda fila, 38 en la tercera fila y así sucesivamente. Si hay 15 filas de postes, ¿Cuántos postes hay en la última fila? ¿Cuántos postes hay en total?
3) En el problema aplicativo de las notas musicales calcular las frecuencias de las notas Re-3 y Fa-4.
¡Mucho éxito!